Книжный каталог

Цветкова Н. (ред.) Точка За Точкой. Раскраски

Перейти в магазин

Сравнить цены

Описание

Сравнить Цены

Предложения интернет-магазинов
Цветкова Н. (ред.) Точка за точкой. Раскраски Цветкова Н. (ред.) Точка за точкой. Раскраски 52 р. chitai-gorod.ru В магазин >>
АСТ-ПРЕСС Учимся считать до 10, Точка за точкой АСТ-ПРЕСС Учимся считать до 10, Точка за точкой 237 р. mytoys.ru В магазин >>
Цветкова Н. (ред.) Волшебные раскраски. Кот (+карандаши) Цветкова Н. (ред.) Волшебные раскраски. Кот (+карандаши) 144 р. chitai-gorod.ru В магазин >>
Цветкова Н. (ред.) Раскраски для малышей Цветкова Н. (ред.) Раскраски для малышей 35 р. chitai-gorod.ru В магазин >>
Морозная сказка. Раскраски и рисовалки Морозная сказка. Раскраски и рисовалки 82 р. ozon.ru В магазин >>
Волшебная зима. Раскраски и рисовалки Волшебная зима. Раскраски и рисовалки 88 р. ozon.ru В магазин >>
Ефимова И. Точка за точкой. Рисуем пальчиками Ефимова И. Точка за точкой. Рисуем пальчиками 101 р. chitai-gorod.ru В магазин >>

Статьи, обзоры книги, новости

Цветкова н точка за точкой раскраски купить в Москве недорого с доставкой на дом, цена

Цветкова н точка за точкой раскраски

"Раскраска по точкам: удивительный мир" гарантирует вам незабываемое путешествие по миру! Каждая из 14 картин в раскраске состоит из более чем 1000 точек, которые следует соединить, чтобы увидеть потрясающий результат: великолепные чудеса света или завораживающие шедевры архитектуры! А сам процесс творчества затянет и заинтригует любого, к кому в руки попадёт эта чудесная раскраска!

Внимание! В ваших руках непревзойденная "Раскраска по точкам: города мира". Стоит лишь открыть эту чудесную книгу, и она увлечет вас в творчестве и дезориентирует в пространстве и времени. Каждая из 14 картин раскраски состоит из более чем 1000 точек, что, безусловно, добавит в процесс сложности, а в результате вы получите великолепные пейзажи с чудесами света или шедеврами архитектуры. Совершите с раскраской незабываемое путешествие по миру!

На страницах этой раскраски малышей ждут увлекательные задания и головоломки. Всего лишь немного воображения, и персонажи любимого полнометражного мультфильма "Тролли" оживут. Берите в руки карандаши, краски или фломастеры, чтобы создать собственный волшебный мир!

Отличный способ провести время для фантазеров всех возрастов. Возьмите в руки карандаши или фломастеры и погрузитесь в атмосферу творчества. Раскраски стимулируют работу воображения и способствуют эстетическому развитию. Решайте, в какие цвета раскрасить свой мир! Возраст: 4-6.

Источник:

sumshop.ru

Точка за точкой

Точка за точкой. Раскраски

в закладки Посмотреть

наличие в магазинах

Отзыв о книге Точка за точкой. Раскраски

В наших магазинах

Будьте в курсе наших акций:

2011—2018, ООО «Новый Книжный Центр». Перепечатка материалов сайта возможна только с указанием активной ссылки на сайт «Читай–город».

Источник:

www.chitai-gorod.ru

Раскраски Н-П (страница 19)

Раскраски [Н-П] (страница 19)

Очаровательные раскраски для девчонок помогут юным художницам развить творческие способности и прекрасно провести время.

.Для старшего дошкольного и младшего школьного возраста

Предлагаем вашему вниманию раскраски + безвредные пальчиковые краски, которые можно использовать для занятий с самыми маленькими детьми.

Это раскраски для самых маленьких с большими рисунками и забавными героями замечательных русских сказок. Они несомненно заинтересуют малыша. Но больше всего ребенок обрадуется возможности самому раскрасить рисунок. В качестве подсказки есть цветной образец. Но если ваш малыш захотел пофантазировать с цветом, не мешайте ему. Пусть творит!

Обожаешь раскраски, но не любишь простые задачи? Не боишься трудностей и умеешь сосредоточиться? Если да, значит, новая серия "Загадочные раскраски" создана специально для тебя! Отдыхай, развивай внимание и наслаждайся творчеством!

Вашему вниманию предлагается Р Праздник в лесу (мЧерФил).

Раскраски - это увлекательное детское времяпрепровождение и замечательное средство развития ребенка. Раскрашивая разукрашки , ребенок получает удовольствие и одновременно развивает свои умственные способности, становится более внимательным и аккуратным. В нашем интернет-магазине хороший ассортимент раскрасок для девочек, мальчиков и малышей.

Раскраски дая самых маленьких художников!

Толстые цветные контуры и частично раскрашенные иллюстрации помогут малышу создать свои первые новогодние картинки!

Для дошкольного возраста.

ВЕДУЩИЕ РОССИЙСКИЕ ПСИХОЛОГИ РЕКОМЕНДУЮТ ДЛЯ РАСКРАСОК АЛЬБОМНЫЙ ФОРМАТ - он способствует максимальной концентрации малыша на процессе раскрашивания.

.РАСКРАСКИ ПОДХОДЯТ ДАЖЕ САМЫМ МАЛЕНЬКИМ ДЕТЯМ, с их помощью они разовьют не только мелкую моторику, но и желание заниматься и развиваться.

.СПЕЦИАЛЬНО ПОДОВРАННЫЕ ЛАКОНИЧНЫЕ ИЛЛЮСТРАЦИИ можно раскрашивать не только кисточкой, цветными карандашами и фломастерами, но даже пальчиками.

Новинка! Многоразовые раскраски для маленьких художников! Раскрашиваем фломастерами веселые картинки, а если что-то не понравилось, можно просто стереть все влажной губкой и раскрасить заново! Интересно, что фон, который малыши так не любят раскрашивать, уже цветной, так что юному художнику осталось разрисовать яркими фломастерами только забавных персонажей и интересные детали.

Для старшего дошкольного возраста

На море. Первые раскраски с наклейками. Для детей от 3 лет.

Очаровательные раскраски для девчонок помогут юным художницам развить творческие способности и прекрасно провести время.

В этом альбоме для раскрашивания собраны лучшие работы Огюста Ренуара - одного из самых ярких представителей импрессионизма. Картины Ренуара - это нежные тона, трогательные образы, очарование застывшего мгновения счастья. С помощью этого издания вы сможете подобрать свою палитру для сюжетов Ренуара и стать соавтором великого художника.

СМОТРИ МУЛЬТФИЛЬМЫ -РАСКРАШИВАЙ КАРТИНКИ!

.На страничках этой раскраски вас ждут ВЕСЁЛЫЕ ПЕРСОНАЖИ МУЛЬТФИЛЬМОВ ВРУМИЗ!

.Вместе с гепардом СПИДИ, обезьянкой БАНГИ, оленёнком ФАРРОЙ и другими героями процесс раскрашивания станет невероятно увлекательным!

.Раскрашивать картинки по образцу совсем просто даже для самых маленьких

.Кроме того, раскрашивание по образцу развивает наблюдательность и умение работать с цветами.

.Для дошкольного возраста.

Такого еще не было! Полтора квадратных метра творчества и праздничного настроения! Новогодняя супер-раскраска уникального гигантского формата!

Открой для себя удивительный мир, в котором живут чудесные пони-феи! Добавь волшебству красок раскрась Зачарованный лес, Летний дворец, Волшебный пруд пони, Танцующий водопад и другие потрясающие картинки!

Для чтения взрослыми детям.

Сказочно прекрасная книга изысканных иллюстраций к роману Джеймса Барри. Великолепное подарочное оформление (тиснение золотом на обложке), 80 страниц изысканных авторских иллюстраций на отличной плотной бумаге, а для тех, кто еще не успел прочитать книгу о приключениях Питера Пэна - мальчика, который не хотел взрослеть, в начале есть краткий пересказ приключений Питера и его друзей в Нетландии.

Для детей старшего дошкольного возраста.

Нападение армии рептилий. Геройская раскраска.

.Коварный Ящер задумал превратить всех жителей города в ужасных рептилий и создать из них собственную армию! Помешать злодею может только Человек-Паук В этой книге ты не только раскрасишь сцены удивительных сражений, но и дополнишь историю приключений Спа

Более 100 игр и раскрасок под одной обложкой: игры, задачки, лабиринты, рисование и многое-многое другое!

.Для младшего школьного возраста.

Эта новогодняя книжка подарит всем праздничное настроение! Замечательные раскраски с цветным образцом для детей дошкольного возраста.

Новогодний медвежонок.Нарисуй по точкам и раскрась.

Черепашонок Филя и его друзья приглашают тебя на веселую зарядку. Решай головоломки о спорте, раскрашивай чемпионские картинки и получай в подарок наклейки для мячиков, скакалок, гантелей и обручей!

Смотри мультфильм раскрашивай картинки!

.ДРУЖНЫЕ ПЕРСОНАЖИ МУЛЬТФИЛЬМОВ ВРУМИЗ ждут вас на страничках этой раскраски!

.С отважным СПИДИ, сообразительной ФАРРОЙ, забавным БАНГИ и другими героями даже самым маленьким будет весело заниматься и развиваться.

.САМЫЕ ПРОСТЫЕ РАСКРАСКИ ЛУЧШЕ ВСЕГО ПОДХОДЯТ ДЛЯ ПЕРВЫХ ОПЫТОВ В РИСОВАНИИ - их можно раскрашивать не только кисточкой, цветными карандашами или фломастерами, но даже пальчиками.

.АЛЬБОМНЫЙ ФОРМАТ РАСКРАСОК РЕКОМЕНДОВАН ВЕДУЩИМИ ПСИХОЛОГАМИ он способствует максимальной концентрации малыша на процессе раскрашивания.

Эта книга представляет собой чудесное сочетание красочных постеров и плотных страниц для раскрашивания. А еще в книге есть лабиринты, страницы для креативного дорисовывания и масса интересной и познавательной информации.

Раскраски - это увлекательное детское времяпрепровождение и замечательное средство развития ребенка. Раскрашивая разукрашки , ребенок получает удовольствие и одновременно развивает свои умственные способности, становится более внимательным и аккуратным. В нашем интернет-магазине хороший ассортимент раскрасок для девочек, мальчиков и малышей.

Раскраска. Издание для досуга. Для дошкольного возраста.

Более 100 игр и раскрасок под одной обложкой: игры, задачки, лабиринты, рисование и многое-многое другое!

.Для младшего школьного возраста.

Для старшего дошкольного и младшего школьного возраста

Полтора квадратных метра творчества и отличного настроения! Суперраскраска уникального гигантского формата!

Вашему вниманию предлагается издание для досуга для детей старшего дошкольного возраста.

Раскраски с захватывающими битвами с коварными преступниками;

. Истории о новых приключениях Человека-Паука;

. Интересные факты из жизни любимого супергероя;

. Сильные и слабые стороны его врагов;

. Занимательные вопросы и задания;

. Советы, как выйти победителем из сражений с опасными злодеями;

. Наклейки для заполнения книги "Геройская коллекция. Альбом для наклеек".

.С "Геройскими раскрасками" мальчуганы станут настоящими экспертами по супергероям и суперзлодеям!

Нераскрашенная страна приглашает детей в гости! Вместе с героями сказки, тремя Красками - желтой, красной и синей - малыши научатся смешивать цвета и узнают много нового и интересного о разноцветном мире. Эта книга поможет родителям организовать увлекательный совместный досуг с ребёнком, развить его фантазию, усидчивость и аккуратность.

Примечание: если название категории заканчивается на [А] или любые другие буквы в квадратных скобках, - это означает, что данная категория является частью одноименной категории без скобок. Исходная категория была автоматически разбита на подкатегории по первым буквам наименований позиций, из-за большого объема.

Источник:

niv.ru

Глава 43

Цветкова Н. (ред.) Точка за точкой. Раскраски

Глава 43. ПРОБЛЕМА ЧЕТЫРЕХ КРАСОК

Из всех великих математических гипотез, не доказанных и не опровергнутых по сей день, простейшей — в том смысле, что понять ее может даже маленький ребенок, — следует считать знаменитую топологическую проблему четырех красок. Предположим, что нам требуется раскрасить географическую карту. Сколько красок нужно взять для того, чтобы никакие две «сопредельные» страны, имеющие общую границу, не были выкрашены в один цвет? Нетрудно начертить карту, для раскраски которой требуются лишь четыре краски. Зная только элементарную математику, вполне можно разобраться в строгом доказательстве того, что пять красок достаточно для раскраски любой карты. Можно ли утверждать, что для тех же целей необходимо и достаточно взять четыре краски?

Иначе говоря, можно ли начертить карту, для раскраски которой необходимо иметь пять красок? Математики, размышлявшие над этой задачей, склоняются к мнению, что сделать этого нельзя, но утверждать с уверенностью невозможность построения карты, требующей для своей раскраски пяти цветов, они не могут.

Не проходит и месяца, чтобы кто-нибудь не прислал мне пространного «решения» проблемы четырех красок. Почти во всех случаях оказывается, что автор очередного «решения» спутал проблему с гораздо более простой задачей — доказательством того, что невозможно начертить карту, на которой было бы всего лишь пять стран и каждая из этих стран примыкала бы к четырем остальным странам (две страны, имеющие лишь одну общую точку, примыкающими друг к другу, не считаются). Я сам тоже в какой-то мере способствовал этому распространенному заблуждению, написав как-то раз научно-фантастический рассказ под названием «Остров пяти красок» о вымышленном острове, который один польский тополог разделил на пять областей так, что каждая область имела общую границу с четырьмя остальными. Нетрудно доказать, что такую карту начертить нельзя. Можно предположить, что отсюда автоматически следует решение проблемы четырех красок для всех карт, но такое заключение неверно.

Чтобы разобраться, в чем здесь дело, рассмотрим простую карту, изображенную на рис. 219,а (истинная форма областей роли не играет, важно лишь то, как области примыкают друг к другу; проблема четырех красок потому и относится к топологии, что в ней речь идет о свойстве плоских фигур, не меняющемся при деформации поверхности, на которой эти фигуры начерчены).

В какой цвет выкрасить еще не закрашенную область? Очевидно, цвет должен быть либо красным, либо каким-то новым, четвертым цветом, отличающимся от уже нанесенных на карту. Предположим, что мы избрали вторую альтернативу и выкрасили пустую область в зеленый цвет. Добавим теперь еще одну область. Вполне очевидно, что закончить раскраску карт (с соблюдением всех условий) без привлечения пятого цвета нельзя. Вернемся снова к карте и выкрасим пустую область вместо зеленого в красный цвет. Такая раскраска приводит к трудностям, если с первыми четырьмя областями соприкасаются две другие области (см. карту на рис. 219,в). Ясно, что для раскраски этих двух областей нам понадобятся четвертая и пятая краски. Является ли все сказанное доказательством того, что для раскраски некоторых карт необходимо брать пять красок?

Рис. 219 При раскрашивании карты в четыре цвета часто приходится начинать всю работу сначала, выбирая другие краски. 1 — белый; 2 — черный; 3 — красный; 4

серый; 5 — розовый.

Отнюдь нет. В обоих случаях мы можем обойтись всего лишь четырьмя красками, следует только вернуться к исходной карте и изменить первоначальную схему раскраски.

При раскрашивании сложных карт с десятками «стран» мы то и дело будем попадать в подобные «тупики» и возвращаться к тому, с чего начали. Следовательно, для решения проблемы четырех красок необходимо либо доказать, что во всех случаях, изменив надлежащим образом схему раскраски, можно добиться успеха, либо придумать какой-нибудь способ, который позволил бы исключить все ненужные варианты раскраски любой карты в четыре цвета. Стифен Барр предложил замечательную топологическую игру, основанную на трудности предвидения таких «тупиковых» раскрасок. Игрок А чертит произвольную область. Игрок В раскрашивает ее и пририсовывает новую область. Игрок А раскрашивает новую область и добавляет еще одну область. Игра продолжается.

Каждый из игроков раскрашивает область, начерченную противником, и дорисовывает свою область. Проигрывает тот, кто вынужден воспользоваться пятой краской. Я не знаю лучшего способа понять трудности, которые встречаются на пути решения проблемы четырех красок, чем просто поиграть в эту любопытную игру.

Часто говорят, первыми, кто понял, что для раскраски любой карты требуется взять лишь четыре краски, были картографы. Математик Кеннет О. Мэй усомнился в справедливости этого утверждения. Проведя тщательное исследование происхождения проблемы четырех красок, Мэй не нашел в старинных книгах по картографии ни формулировки проблемы, ни указания на то, что она известна авторам этих книг. По-видимому, впервые проблему четырех красок в явном виде сформулировал Фрэнсис Гетри, студент из Эдинбурга. Он упомянул о ней в письме брату Фредерику (ставшему впоследствии химиком), который в свою очередь сообщил ее (в 1852 году) своему преподавателю математику Августу де Моргану.

Широкую известность проблема четырех красок приобрела после того, как в 1878 году выдающийся математик Артур Кэли сообщил, что он размышлял над этой проблемой, но так и не сумел ее решить.

В 1879 году английский юрист и математик Альфред Кемпе опубликовал то, что, по его мнению, было решением проблемы, а год спустя представил в журнал Nature статью со сверхсамоуверенным названием «Как раскрасить карту четырьмя красками».

В течение десяти лет математики считали проблему решенной, но потом П. Дж. Хивуд указал на роковой пробел в доказательстве Кемпе. С тех пор математические умы безуспешно пытались найти решение проблемы. Внешне невинная формулировка проблемы четырех красок — кажется, что решить ее совсем нетрудно, — многим сулит ложные надежды. В своей автобиографической книге «Бывший вундеркинд» Норберт Винер писал о том, что и он, подобно всем математикам, пытался найти решение проблемы четырех красок, но каждый раз найденное решение, как заколдованное золото в волшебной сказке, обращалось в его руках в груду глиняных черепков. В настоящее время проблема четырех красок положительно решена для всех карт с числом стран, не превышающим 38. Может показаться, что 38 —очень маленькое число, но полученное решение становится менее тривиальным, если учесть, что число топологически различных карт с числом стран, не превышающим 38, оказывается больше чем 10 38 . Даже современные быстродействующие компьютеры не в состоянии перебрать все эти варианты в сколько-нибудь разумный отрезок времени.

Отсутствие доказательства для проблемы четырех красок на плоскости становится еще удивительнее, если учесть, что аналогичные проблемы решены для более сложных поверхностей (при рассмотрении проблемы четырех красок поверхность сферы не отличается от плоскости: любую карту на сфере можно превратить в эквивалентную карту на плоскости, сферу проколоть в точке, лежащей внутри любой области, а затем растянуть на плоскости). Для раскраски односторонних поверхностей, таких, как лист Мёбиуса, бутылка Клейна и проективная плоскость, необходимо и достаточно шести красок. Для раскраски карты на поверхности тора, или бублика, число красок должно быть равно семи. Одна из таких карт показана на рис. 220,в.

Рис. 220 Для раскраски карты на торе достаточно семи красок. Для получения тора лист бумаби (а) сворачивают в трубку (б), концы которой склеиваются (в) (тор показан в увеличенном виде).

Обратите внимание на то, что каждая область ограничена шестью отрезками прямых и примыкает к шести другим областям.

Проблема раскраски карты по сути дела решена для всех сколько-нибудь серьезно изученных сложных поверхностей, но стоит лишь взять поверхность, топологически эквивалентную плоскости или сфере, как решение проблемы ускользает от топологов. Хуже всего, что всякие видимые причины, объясняющие, почему так происходит, отсутствуют. Все предпринятые попытки, казалось, гарантировали успех, и лишь на самом последнем этапе, когда цепочка рассуждений вот-вот должна была замкнуться, обнаруживался досадный просчет, мнимый успех улетучивался подобно миражу.

Трудно заранее предсказать, каким окажется решение знаменитой проблемы, но можно не сомневаться, что того, кто первым сумеет подтвердить или опровергнуть гипотезу о возможности раскраски любой карты четырьмя красками, ожидает всемирное признание и слава. «Прорыв» в неприступной обороне проблемы может произойти по одному из трех направлений:

1. Будет начерчена карта, для раскраски которой непременно требуются пять красок. «Если взять на себя смелость и составить прогноз на будущее, — пишет Г. С. М. Коксетер в великолепной статье «Проблема четырех красок, 1840–1890 годы», — то я должен высказать предположение, что карта, требующая для своей раскраски пяти красок, вполне может существовать, но даже простейшая из таких карт имеет столько стран (их могут быть сотни и даже тысячи), что ни у кого из тех, кто столкнется с ней, не хватит терпения, чтобы проделать все необходимые проверки и исключить возможность ее раскраски с помощью четырех красок».

2. Будет обнаружено доказательство гипотезы, может быть, с помощью какого-нибудь нового метода, который внезапно откроет многие запертые двери в здании математики.

3. Будет доказано, что доказать или опровергнуть гипотезу невозможно. Это утверждение может показаться странным, но в 1931 году Курт Гёдель установил, что во всякой дедуктивной системе, достаточно сложной для того, чтобы она включала арифметику, существуют математические теоремы, «неразрешимые» в рамках этой дедуктивной системы. До сих пор удалось доказать «неразрешимость» (в смысле Гёделя) лишь очень немногих великих гипотез.

Является ли проблема четырех красок такого рода математической теоремой? Если это так, то ее можно считать «истинной» только в том случае, если ее или какую-нибудь другую тесно связанную с ней теорему включить в качестве нового недоказуемого постулата в расширенную дедуктивную систему.

К сожалению, доказательство того, что пяти красок достаточно для раскраски карт на плоскости, а шести или более красок необходимо и достаточно для раскраски некоторых более сложных поверхностей, слишком длинно, чтобы приводить его здесь. Некоторое представление о том, как протекает доказательство этих теорем, читатель сможет получить из следующего остроумного доказательства теоремы о раскраске в два цвета.

Рассмотрим все возможные карты на плоскости, образованные прямыми. Примером такой карты может служить обычная шахматная доска. Менее правильный узор изображен на рис. 221 слева.

Достаточно ли двух красок для раскрашивания всех таких карт?

Оказывается, достаточно, и доказать это нетрудно. На любой правильно раскрашенной карте интересующего нас типа проведем еще одну прямую (например, жирную прямую, как на рис. 221 справа), разделив плоскость на две «карты».

Рис. 221 Для раскраски любой карты, образованной прямыми, пересекающими всю ее поверхность от одного края листа до другого, достаточно двух красок.

Каждая из новых карт в отдельности раскрашена правильно, но к новой «границе» только что проведенной прямой примыкают пары областей, окрашенных в один и тот же цвет. Для того чтобы восстановить правильную раскраску всей карты в целом, нужно перекрасить одну из карт-половинок (какую именно — безразлично), изменив окраску каждой из областей на противоположную. То, что при этом получится, показано на рис. 221 слева. Карта над черной прямой «обращена» — перекрашена так, словно «отрицательные» области стали «положительными» и наоборот, и, как нетрудно видеть, вся карта раскрашена правильно.

Для завершения доказательства рассмотрим плоскость, разделенную на две области одной-единственной прямой. Такую карту, разумеется, можно раскрасить в два цвета. Проведем вторую прямую и раскрасим новую карту, переменив все цвета по одну сторону от новой прямой на противоположные. Затем проведем третью прямую и т. д. Ясно, что предложенный метод пригоден при любом числе прямых. Следовательно, «методом полной математической индукции» мы доказали теорему о возможности раскраски в два цвета всех карт, образованных прямыми на плоскости. Доказательство можно несколько обобщить на случай более разнообразных карт, например таких, как карта на рис. 222, образованная либо кривыми, пересекающими весь лист от одного края до другого, либо замкнутыми кривыми без самопересечений.

Рис. 222 Двух красок достаточно для раскрашивания карты, образованной либо линиями, идущими от одного края листа до другого, либо замкнутыми кривыми.

Проведя еще одну кривую, пересекающую всю карту от одного ее края до другого, мы должны, как и прежде, изменить все цвета по одну сторону от кривой на противоположные. Если вновь проведенная кривая замкнута, то изменить нужно окраску всех областей, попавших внутрь кривой, или, если угодно, всех областей, оказавшихся снаружи. Замкнутые кривые могут иметь и точки самопересечения, но в этом случае перекрашивание областей более сложно.

Заметим, что на всех приведенных здесь двухцветных картах все вершины четны (напомним, что вершиной называется точка, в которой сходятся границы более двух стран), то есть в каждой вершине сходится четное число границ. Можно показать, что любую карту на плоскости можно раскрасить в два цвета тогда и только тогда, когда все ее вершины четны. Это утверждение известно как «теорема о двухцветных картах». Нетрудно видеть, что на торе эта теорема не выполняется. Для этого достаточно скатать в трубку квадратный лист бумаги, расчерченный на девять маленьких квадратов (наподобие игрового поля для крестиков и ноликов), а концы трубки склеить. Все вершины на таком «клетчатом» торе четны, но для его раскрашивания необходимо взять три краски.

Приведем теперь (скорее для развлечения, чем для уяснения существа дела) две задачи на раскрашивание карт. Они несложны, но в каждой имеется какая-нибудь ловушка, которая делает решение не столь легким, как это кажется с первого взгляда.

1. Стифен Барр сообщил мне в письме задачу о художнике, который хочет закончить большую абстрактную картину, изображенную на рис. 223.

Рис. 223 Сколько красок должен взять художник, чтобы раскрасить эту абстрактную картину?

Он решил ограничиться четырьмя красками и каждую из областей окрасить только в один цвет, следя за тем, чтобы области, имеющие общую границу, не были окрашены одинаково. Площадь каждой области равна восьми квадратным футам, за исключением верхней области, имеющей вдвое большую площадь, чем остальные. Проверив запасы красок в тюбиках, художник обнаружил, что красной краски у него осталось ровно столько, сколько требуется, чтобы покрыть 24 квадратных фута, желтой хватит на покрытие такой же площади, зеленой — на 16 квадратных футов и синей — на 8 квадратных футов. Как ему следует поступить для того, чтобы закончить свою картину?

2. Известный математике Лео Мозер предложил следующую задачу: как начертить на плоскости двухцветную карту, обладающую таким свойством, что, как бы вы ни накладывали на нее равносторонний треугольник со стороной 1, все три его вершины не должны лежать на точках одного цвета?

Утверждение о том, что на плоскости нельзя начертить пять областей так, чтобы любые из них имели общую границу, было высказано в 1840 году Мёбиусом на одной из его лекций. Мёбиус придал ему форму притчи о восточном правителе, завещавшем свое царство пяти сыновьям при условии, если те сумеют так поделить наследство, чтобы владения каждого из сыновей граничили с владениями всех остальных. Эта задача эквивалентна следующей задаче из теории графов: можно ли так разместить на плоскости пять точек, чтобы они соединялись не пересекающимися друг с другом отрезками прямых? Доказательство того, что этого сделать нельзя, нетрудно, и его можно найти в любой книге по элементарной теории графов.[67]

Неточность выражений, употребленных мной при обсуждении проблемы четырех красок, как утверждения, неразрешимого в смысле Гёделя, послужила причиной следующего письма.

Статья Мартина Гарднера о проблеме четырех красок доставила мне много удовольствия. Действительно, невозможно доказать, что доказать эту теорему невозможно. В самом деле, если утверждение теоремы (речь идет о теореме, утверждающей, что четырех красок достаточно для раскрашивания любой карты) ложно, то это, вне всяких сомнений, можно наглядно продемонстрировать, предъявив карту, которую нельзя раскрасить в четыре краски. Следовательно, если теорема недоказуема, то она должна быть верна. Это и означает, что мы не можем доказать, что доказать ее невозможно, ибо такое доказательство было бы эквивалентно доказательству теоремы и мы пришли бы к противоречию.

Аналогичное замечание применимо к любой теореме, ложность которой можно было бы продемонстрировать с помощью контрпримера, в частности к великой теореме Ферма.

Такие теоремы могут быть недоказуемыми, но лишь в том случае, если они истинны. Поэтому мы никогда не можем знать, что они недоказуемы, и математики должны вновь и вновь предпринимать попытки доказать их. Ситуация складывается просто ужасная! Хорошим выходом из нее могло бы послужить обращение к физике, но «гёделевщина» может вторгнуться и в эту область…

Ситуация станет менее ужасной, если учесть, что теорема, неразрешимая в смысле Гёделя в рамках данной дедуктивной системы, всегда может быть разрешена средствами математики в расширенной системе. Если когда-нибудь будет доказано, что проблема четырех красок неразрешима в смысле Гёделя в рамках дедуктивной системы, опирающейся на определенные постулаты топологии и теории множеств, то она автоматически станет «истинной» (как объяснил нам Сиама), но «истинной» в метаматематическом смысле, то есть разрешимой в некоторой более широкой дедуктивной системе, может быть, в системе, в которую утверждение о возможности раскраски любой карты четырьмя красками само входит в качестве нового постулата.

1. Смешав всю имеющуюся у него синюю краску с третью всего количества красной краски, художник получил столько пурпурной краски, что ее хватило для закрашивания шестнадцати квадратных футов полотна. После того как большая область в верхней части абстрактной картины (рис. 223) и центральная область закрашены в желтый цвет, раскрасить остальные области в красный, зеленый и пурпурный цвета уже нетрудно.

2. Раскрасить плоскость в два цвета так, чтобы вершины наложенного на нее равностороннего треугольника со стороной в 1 при любой его ориентации не попадали на три точки одного цвета, проще всего так: нужно разделить плоскость на параллельные полосы, каждая шириной в

единиц, а затем попеременно раскрасить их в черный и белый цвета так, как показано на рис. 224.

Рис. 224 Решение задачи о треугольнике и двуцветной карте.

Чтобы «полосатая» плоскость давала решение задачи, необходимо ввести понятие открытого и замкнутого множества. Континуум вещественных чисел, например чисел, заключенных между 0 и 1, называется замкнутым интервалом, если 0 и 1 принадлежат ему, и открытым интервалом, если 0 и 1 не принадлежат ему. Если интервал включает один из своих концов (0 или 1) и не включает другого, то говорят, что он замкнут с одного и открыт с другого конца.

Полосы на карте будем считать замкнутыми слева и открытыми справа. Самая левая черная полоса начинается с отметки 0 (внизу) и доходит до отметки

но не включает эту отметку. Следующая (белая) полоса включает отметку

и доходит до отметки

не включая ее, и т. д. Иначе говоря, каждая вертикальная линия на карте принадлежит лишь той полосе, которая расположена справа от нее. Это необходимо для соблюдения условий задачи в тех случаях, когда все три вершины треугольника (рис. 224) должны были бы располагаться на границах между полосами.

Л. Мозер, приславший эту задачу, сообщает, что ему не известно, во сколько цветов нужно раскрасить плоскость для того, чтобы концы единичного отрезка не лежали на точках одного и того же цвета. Было доказано, что четыре краски необходимы, а семи красок достаточно. (То обстоятельство, что семи красок достаточно, видно из рассмотрения правильной мозаики, выложенной из шестиугольников, если взять радиус описанной вокруг каждого шестиугольника окружности чуть больше единицы и окрасить их так, чтобы цвета любого шестиугольника и шести окружающих его шестиугольников были различными.) Разрыв между четырьмя красками (необходимое условие) и семью красками (достаточное условие) настолько велик, что задача, по-видимому, еще долгое время не будет решена.[68]

Примечания:

Хэггис — шотландское национальное блюдо, которое готовится из овечьей или телячьей требухи и овсяной муки, приправленных луком и перцем.

Tietze H., Famous Problems of Mathematics. — Graylock Press, 1965, pp. 64–89.

О положительном решении проблемы четырех красок, найденном с помощью компьютеров, было объявлено в 1976 г.

Источник:

www.razlib.ru

Цветкова Н. (ред.) Точка За Точкой. Раскраски в городе Чебоксары

В данном интернет каталоге вы сможете найти Цветкова Н. (ред.) Точка За Точкой. Раскраски по разумной цене, сравнить цены, а также найти похожие книги в группе товаров Детская литература. Ознакомиться с параметрами, ценами и рецензиями товара. Доставка товара может производится в любой город России, например: Чебоксары, Иркутск, Ростов-на-Дону.