Книжный каталог

Вписанные И Описанные Окружности. Справочные Материалы

Перейти в магазин

Сравнить цены

Описание

Сравнить Цены

Предложения интернет-магазинов
Вписанные и описанные окружности. Справочные материалы Вписанные и описанные окружности. Справочные материалы 19 р. chitai-gorod.ru В магазин >>
Кинематика. Справочные материалы Кинематика. Справочные материалы 21 р. ozon.ru В магазин >>
Правописание глаголов. Справочные материалы Правописание глаголов. Справочные материалы 21 р. ozon.ru В магазин >>
Числовые последовательности. Комбинаторика. Справочные материалы Числовые последовательности. Комбинаторика. Справочные материалы 21 р. ozon.ru В магазин >>
Периодический закон. Справочные материалы Периодический закон. Справочные материалы 21 р. ozon.ru В магазин >>
Правописание числительных. Справочные материалы Правописание числительных. Справочные материалы 21 р. ozon.ru В магазин >>
Механические колебания и волны. Справочные материалы Механические колебания и волны. Справочные материалы 19 р. chitai-gorod.ru В магазин >>

Статьи, обзоры книги, новости

Справочные материалы Окружность

/ справочные материалы Окружность

Справочные материалы по теме"Окружность".

Окружностью называется фигура, состоящая из всех точек плоскости, находящихся от данной точки на данном расстоянии. Данная точка называется центром окружности, а отрезок, соединяющий центр с какой-либо точкой окружности, — радиусом окружности.

Часть плоскости, ограниченная окружностью называется кругом.

Круговым сектором или просто сектором называется часть круга, ограниченная дугой и двумя радиусами, соединяющими концы дуги с центром круга.

Сегментом называется часть круга, ограниченная дугой и стягивающей ее хордой.

Прямая, имеющая с только одну общую точку, называется касательной к окружности, а их общая точка называется точкой касания прямой и окружности.

Свойства касательной

Касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, проведенному в точку касания.

Отрезки касательных к окружности, проведенных из одной точки, равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр окружности.

Отрезок, соединяющий две точки окружности, называется ее хордой. Хорда, проходящая через центр окружности, называется диаметром.

Диаметр (радиус), перпендикулярный к хорде, делит эту хорду и обе стягиваемые ею дуги пополам. Верна и обратная теорема: если диаметр (радиус) делит пополам хорду, то он перпендикулярен этой хорде.

Дуги, заключенные между параллельными хордами, равны.

Если две хорды окружности, AB и CD пересекаются в точке M, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды: AM•MB = CM•MD.

Свойства окружности

Прямая может не иметь с окружностью общих точек; иметь с окружностью одну общую точку (касательная); иметь с ней две общие точки (секущая).

Через три точки, не лежащие на одной прямой, можно провести окружность, и притом только одну.

Точка касания двух окружностей лежит на линии, соединяющей их центры.

Теорема о касательной и секущей

Если из точки, лежащей вне окружности, проведены касательная и секущая, то квадрат длины касательной равен произведению секущей на ее внешнюю часть: MC 2 = MA•MB.

Теорема о секущих

Если из точки, лежащей вне окружности, проведены две секущие, то произведение одной секущей на её внешнюю часть равно произведению другой секущей на её внешнюю часть. MA•MB = MC•MD.

Углы в окружности

Центральным углом в окружности называется плоский угол с вершиной в ее центре.

Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают эту окружность, называется вписанным углом.

Любые две точки окружности делят ее на две части. Каждая из этих частей называется дугой окружности. Мерой дуги может служить мера соответствующего ей центрального угла.

Дуга называется полуокружностью, если отрезок, соединяющий её концы, является диаметром.

Свойства углов, связанных с окружностью

Вписанный угол либо равен половине соответствующего ему центрального угла, либо дополняет половину этого угла до 180°.

Углы, вписанные в одну окружность и опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.

Вписанный угол, опирающийся на диаметр, равен 90°.

Угол, образованный касательной к окружности и секущей, проведенной через точку касания, равен половине дуги, заключенной между его сторонами.

Длины и площади

Длина окружности C радиуса R вычисляется по формуле: C = 2 R.

Площадь S круга радиуса R вычисляется по формуле: S = R 2 .

Длина дуги окружности L радиуса R с центральным углом , вычисляется по формуле:.

Площадь S сектора радиуса R с центральным углом в радиан вычисляется по формуле: .

Вписанные и описанные окружности Окружность и треугольник

центр вписанной окружноститочка пересечения биссектрис треугольника, ее радиус r вычисляется по формуле: , где S — площадь треугольника, а полупериметр;

центр описанной окружности — точка пересечения серединных перпендикуляров, ее радиус R вычисляется по формуле: ,; здесь a, b, c — стороны треугольника, — угол, лежащий против стороны a, S — площадь треугольника;

центр описанной около прямоугольного треугольника окружности лежит на середине гипотенузы;

центр описанной и вписанной окружностей треугольника совпадают только в том случае, когда этот треугольник — правильный.

Окружность и четырехугольники

около выпуклого четырехугольника можно описать окружность тогда и только тогда, когда сумма его внутренних противоположных углов равна 180°:+ = + = 180°;

в четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда у него равны суммы противоположных сторон:

a + c = b + d;

около параллелограмма можно описать окружность тогда и только тогда, когда он является прямоугольником;

около трапеции можно описать окружность тогда и только тогда, когда эта трапеция равнобедренная; центр окружности лежит на пересечении оси симметрии трапеции c серединным перпендикуляром к боковой стороне;

в параллелограмм можно вписать окружность тогда и только тогда, когда он является ромбом.

Окружность и четырехугольники

около выпуклого четырехугольника можно описать окружность тогда и только тогда, когда сумма его внутренних противоположных углов равна 180°:+ = + = 180°;

в четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда у него равны суммы противоположных сторон:

a + c = b + d;

около параллелограмма можно описать окружность тогда и только тогда, когда он является прямоугольником;

около трапеции можно описать окружность тогда и только тогда, когда эта трапеция равнобедренная; центр окружности лежит на пересечении оси симметрии трапеции c серединным перпендикуляром к боковой стороне;

в параллелограмм можно вписать окружность тогда и только тогда, когда он является ромбом.

Для продолжения скачивания необходимо собрать картинку:

Источник:

studfiles.net

Вписанные и описанные окружности. Справочные материалы

1. Вписанные и описанные окружности

1. Вписанные и описанные окружности

^ 2. Центральные и вписанные углы

Пример 1. Точки А, В, С лежат на окружно­сти с центром О; угол ABC равен 66°. Найти цен­тральный угол, соответствующий углу ABC.

Следствие. Вписанные углы, стороны кото­рых проходят через точки А и В окружности, а вершины, лежат по одну сторону от прямой АВ, равны.

1. Гусев В.А. Математика: Справочные материалы. – М.: Просвещение, 1990.

Дуга называется, если отрезок, соединяющий ее концы, является диаметром окружности

Данный тест проводится для проверки теоретического материала по теме «Взаимное расположение прямой и окружности. Центральные и вписанные.

Тест по теме «Окружность. Касательная к окружности. Центральные и вписанные углы»

Отрезки касательных к окружности, проведённые из одной точки, равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку.

Что можно сказать о взаимном расположении прямой и окружности, если расстояние от центра окружности до прямой равно 6см, а радиус.

Количество сторон многоугольника, в которой сторона равна радиусу описанной окружности

Хорды, на которые опираются равные вписанные углы, равны. Следовательно, равнобокая трапеция как диагонали равнобокой трапеции. Поскольку.

Расстояние от точек окружности до ее центра называется радиусом окружности. Радиусом называется также любой отрезок, соединяющий.

Какой многоугольник называется вписанным в окружность, описанным около окружности?

При копировании материала обязательно указание активной ссылки открытой для индексации.

Источник:

uch.znate.ru

Вписанные и описанные окружности. Справочные материалы

Окружность

Окружностью называется фигура, состоящая из всех точек плоскости, находящихся от данной точки на данном расстоянии. Данная точка называется центром окружности, а отрезок, соединяющий центр с какой-либо точкой окружности, — радиусом окружности.

Часть плоскости, ограниченная окружностью называется кругом.

Круговым сектором или просто сектором называется часть круга, ограниченная дугой и двумя радиусами, соединяющими концы дуги с центром круга.

Сегментом называется часть круга, ограниченная дугой и стягивающей ее хордой.

Основные термины Касательная

Прямая, имеющая с только одну общую точку, называется касательной к окружности, а их общая точка называется точкой касания прямой и окружности.

Свойства касательной
  1. Касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, проведенному в точку касания.

  • Отрезки касательных к окружности, проведенных из одной точки, равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр окружности.

    Хорда

    Отрезок, соединяющий две точки окружности, называется ее хордой. Хорда, проходящая через центр окружности, называется диаметром.

    Свойства хорд
    1. Диаметр (радиус), перпендикулярный к хорде, делит эту хорду и обе стягиваемые ею дуги пополам. Верна и обратная теорема: если диаметр (радиус) делит пополам хорду, то он перпендикулярен этой хорде.

  • Дуги, заключенные между параллельными хордами, равны.

  • Если две хорды окружности, AB и CD пересекаются в точке M, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды: AM•MB = CM•MD.

    Свойства окружности
    1. Прямая может не иметь с окружностью общих точек; иметь с окружностью одну общую точку (касательная); иметь с ней две общие точки ( секущая).
    2. Через три точки, не лежащие на одной прямой, можно провести окружность, и притом только одну.
    3. Точка касания двух окружностей лежит на линии, соединяющей их центры.

    Теорема о касательной и секущей

    Если из точки, лежащей вне окружности, проведены касательная и секущая, то квадрат длины касательной равен произведению секущей на ее внешнюю часть: MC 2 = MA•MB.

    Теорема о секущих

    Если из точки, лежащей вне окружности, проведены две секущие, то произведение одной секущей на её внешнюю часть равно произведению другой секущей на её внешнюю часть. MA•MB = MC•MD.

    Углы в окружности

    Центральным углом в окружности называется плоский угол с вершиной в ее центре.

    Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают эту окружность, называется вписанным углом.

    Любые две точки окружности делят ее на две части. Каждая из этих частей называется дугой окружности. Мерой дуги может служить мера соответствующего ей центрального угла.

    Дуга называется полуокружностью, если отрезок, соединяющий её концы, является диаметром.

    Свойства углов, связанных с окружностью
    1. Вписанный угол либо равен половине соответствующего ему центрального угла, либо дополняет половину этого угла до 180°.

  • Углы, вписанные в одну окружность и опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.

  • Вписанный угол, опирающийся на диаметр, равен 90°.

  • Угол, образованный касательной к окружности и секущей, проведенной через точку касания, равен половине дуги, заключенной между его сторонами.

    Длины и площади
    1. Длина окружностиC радиуса R вычисляется по формуле:

    C = 2 R.

  • Площадь Sкруга радиуса R вычисляется по формуле:

    S = R 2 .

  • Длина дуги окружности L радиуса R с центральным углом ,измеренным в радианах, вычисляется по формуле:

    L = R .

  • Площадь Sсектора радиуса R с центральным углом в радиан вычисляется по формуле:

    S = R 2 .

    Вписанные и описанные окружности Окружность и треугольник
    • центр вписанной окружности — точка пересечения биссектристреугольника, ее радиус r вычисляется по формуле:

    r = ,

    где S — площадь треугольника, а полупериметр;

  • центр описанной окружности — точка пересечения серединных перпендикуляров, ее радиус R вычисляется по формуле:

    R = ,

    R = ;

    здесь a, b, c — стороны треугольника, — угол, лежащий против стороны a, S — площадь треугольника;

  • центр описанной около прямоугольного треугольника окружности лежит на середине гипотенузы;
  • центр описанной и вписанной окружностей треугольника совпадают только в том случае, когда этот треугольник — правильный.
  • Окружность и четырехугольники
    • около выпуклого четырехугольника можно описать окружность тогда и только тогда, когда сумма его внутренних противоположных углов равна 180°:

    + = + = 180°;

  • в четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда у него равны суммы противоположных сторон:

    Источник:

    www.univer.omsk.su

  • Вписанные и описанные окружности. Справочные материалы

    I. Свойства касательных, хорд и секущих. Вписанные и центральные углы. Окружность и круг

    Часть 3. Окружности

    I. Свойства касательных, хорд и секущих. Вписанные и центральные углы.

    Окружность и круг

    1 .Если из одной точки, лежащей вне окружности, провести к ней две касательные, то

    а)длины отрезков от данной точки до точек касания равны;

    б)углы между каждой касательной и секущей, проходящей через центр круга, равны.

    2. Если из одной точки, лежащей вне окружности, провести к ней касательную и секущую, то квадрат касательной равен произведению секущей на ее внешнюю часть

    3. Если две хорды пересекаются в одной точке, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой.

    4. Длина окружности С=2?R;

    5. Длина дуги L =?Rn/180?

    6. Площадь круга S=?R 2

    7. Площадь сектора Sc =?R 2 n/360

    Градусная мера вписанного угла равна половине градусной меры дуги, на которую он опирается.

    Теорема 1. Мера угла между касательной и хордой, имеющими общую точку на окружности, равна половине градусной меры дуги, заключенной между его сторонами

    Теорема 2 (о касательной и секущей). Если из точки М к окружности проведены касательная и секущая, то квадрат отрезка касательной от точки М до точки касания равен произведению длин отрезков секущей от точки М до точек её пересечения с окружностью.

    Теорема 3. Если две хорды окружности пересекаются, то произведение длин отрезков одной хорды равно произведению длин отрезков другой хорды, то есть если хорды АВ и СД пересекаются в точке М, то АВ • МВ = СМ • МД.

    Свойства хорд окружности:

    • Диаметр, перпендикулярный хорде, делит её пополам. Обратно: диаметр, проходящий через середину хорды, перпендикулярен ей.

    • Равные хорды окружности находятся на равном расстоянии от центра окружности. Обратно: на равного расстоянии от центра окружности находятся равные хорды.

    • Дуги окружности, заключённые между параллельными хордами равны.

    окружности, имеющие общую точку и общую касательную в этой точке, называются )касающимися Если окружности расположены по одну сторону от общей касательной, то они называются касающимися внутренне., а если по разные стороны от касательной, то они называются касающимися внешне.

    II. Дополнительные материалы

    Свойства некоторых углов.

    1) Угол (АВС), вершина ко­торого лежит внутри круга, является полусуммой двух дуг (АС И DE), из которых одна заключена между его сторонами, а другая — между продолжениями сторон.

    2) угол (АВС), вершина которого лежит вне круга и стороны пересекаются с окружностью, является полуразностью двух дуг (АС и ED), заключенных между его сторонами

    Проведя хорду АD (на том и на другом чертеже), мы получим ?АВD,

    относительно которого рассматриваемый угол АВС служит внешним, когда его вершина лежит внутри кру­га, и внутренним, когда его вер­шина лежит вне круга. Поэтому в первом случае: ; во втором случае:

    Теорема. Угол (АCD), состав­ленный касательной и хордой, измеряется половиной ду­ги, заключенной внутри него.

    Предположим сначала, что хорда СD проходит через центр О, Т.е. что хорда есть диаметр. Тогда угол АСD- прямой и, следовательно, равен 90°. Но и половина дуги СmD также равна 90°, так как целая дуга СmD, составляя полуокружность, содержит 180°. Значит теорема оправдывается в этом частном случае..

    Теперь возьмем общий случай, когда хорда СD не проходит через центр. Проведя тогда диаметр СЕ, мы будем иметь:

    У гол ACE, как составленный касательной и диаметром, измеряется, по доказанному, половиной дуги CDE; Угол DCE, как вписанный, измеряется половиной дуги CnED: разница в доказательстве только та, что этот угол надо рассматривать не как разность, а как сумму прямого угла ВСЕ и острого угла ECD.

    Пропорциональные линии в круге

    Теорема. Если через точку (М), взятую внутри круга, проведена какая-нибудь хорда (АВ) и диа­метр (CD), то произведение отрезков хорды (АМ • МВ) равно произведению отрезков диаметра (МВ • МС).

    Проведя две вспомогательные хорды АС и ВD, мы получим два треугольника АМС и MBD (покрытые на рисунке штрихами), которые подобны, так как у них углы А и D равны, как вписанные, опирающиеся на одну и ту же дугу ВС, углы С и В равны, как вписанные, опирающиеся на одну и ту же дугу AD. Из подобия треугольников выводим:

    АМ : МD=МС : МВ, откуда АМ • МВ=МD • МС.

    Следствие. Если через точку (М), взятую внутри круга, проведено сколько угодно хорд (АВ, EF, KL. ), , то произведение отрезков каждой хорды есть число постоянное для всех хорд, так как для каждой корды это произведение равно произведению отрезков диаметра CD, проходящего через взятую точку М.

    Теорема. Если из точки (М), взятой вне круга, проведены к нему какая-нибудь секущая (МА) и касательная (МС), то произведение секущей на ее внеш­нюю часть равно квадрату касательной (предполагается, что секущая ограничена второй точкой пересечения, а касательная - точкой касания).

    Доказательство.

    Проведем вспомогательные хорды АС и ВС; тогда получим два треугольника МАС и МВС (покрытые на рисунке штрихами), которые подобны, потому что у них угол М об­щий и углы МСВ и САВ равны, так как каждый из них из­меряется половиной дуги ВС. Возьмем в ?МАС стороны МА и МС; сходственными сторонами в ?МВС будут МС и МВ; поэтому МА : МС=МС : МВ, откуда МА • МВ=МС 2 .

    Следствие. Если из точки (М), взятой вне круга, проведено к нему сколько угодно секущих (МА, MD, МЕ. ), то произведение каждой секущей на ее внеш­нюю часть есть число постоянное для всех секущих, так как для каждой секущей это произведение равно квадрату касательной (МС 2 ), проведенной из точки М.

    В равнобедренной трапеции с острым углом в 60° боковая сторона равна , а меньшее основание - . Найдите радиус окружности, описанной около этой трапеции.

    1) Радиус окружности, описанной около трапеции, – одно и то же, что и радиус окружности, описанной около треугольника, вершинами которого являются любые три вершины трапеции. Найдем радиус R окружности, описанной около треугольника ABD.

    2 ) ABCD – равнобедренная трапеция, поэтому AK = MD, KM = .

    В ?ABK AK = AB cos A = · cos 60° = . Значит,

    AD = .

    BK = AB sin A = · = .

    B D 2 = ( ) 2 + (3 ) 2 – 2 · · 3 · = 21 + 9 · 21 – 3 · 21 = 7 · 21;

    BD = .

    4) S(?ABD) = AD · BK; S(?ABD) = · · 3 = .

    В равносторонний треугольник ABC вписана окружность и проведен отрезок NM,

    M AC, N BC, который касается ее и параллелен стороне AB.

    Определите периметр трапеции AMNB, если длина отрезка MN равна 6.

    1 ) ?ABC – равносторонний, точка O – точка пересечения медиан (биссектрис, высот), значит, CO : OD = 2 : 1.

    2) MN – касательная к окружности, P – точка касания, значит, OD =

    А так же

    Около окружности описана равнобокая трапеция, средняя линия которой равна 5, а синус острого угла при основании равен 0,8. Найдите площадь трапеции.

    Решение. Так как окружность вписана в четырехугольник, то BC + AD = AB + CD. Этот четырехугольник – равнобокая трапеция, значит BC + AD = 2AB.

    FP – средняя линия трапеции, значит, BC + AD = 2FP.

    ?ABK – прямоугольный, BK = AB sin A; BK = 5 · 0,8 = 4.

    Вписанная окружность треугольника АВС касается стороны ВС в точке К, а вневписанная – в точке L. Докажите, что CK=BL=(a+b+c)/2

    Доказательство: пусть М и N –точки касания вписанной окружности со сторонами АВ и ВС. Тогда BK+AN=BM+AM=AB, поэтому СК+CN= a+b-c.

    Пусть Р и Q – точки касания вневписанной окружности с продолжениями сторон АВ и ВС. Тогда АР=АВ+ВР=АВ+ВL и AQ=AC+CQ=AC+CL. Поэтому AP+AQ=a+b+c. Следовательно, BL=BP=AP-AB=(a+b-c)/2.

    а) Продолжение биссектрисы угла В треугольника АВС пересекает описанную окружность в точке М. О - центр вписанной окружности. ОВ–центр вневписанной окружности, касающейся стороны АС. Докажите, что точки А, С, О и OВ лежат на окружности с центром М.

    Доказательство: Так как HA=FA

    №2. Точки C и D лежат на окружности с диаметром АВ. АС ? BD = Р, а AD ? BC = Q. Докажите, что прямые AB и PQ перпендикулярны

    Доказательство: AD – диаметр => вписанный угол ADB=90 o (как опирающийся на диаметр)=> o как смежный. По св-ву секущих QD·QA=QP·QN=>QD/QP=QN/QA; o =>QN перпендикулярна AB .

    №3. В параллелограмме ABCD диагональ AC больше диагонали BD; М – точка диагонали AC, BDCM – вписанный четырехугольник.. Докажите, что прямая BD является общей касательной к описанным окружностям треугольников ABM и ADM

    Пусть О – точка пересечения диагоналей АС и ВD. Тогда MO·OC=BO·ОD. Тогда как ОС=ОА и ВО=ВD, то МО·ОА=ВО 2 и МО·ОА=DO 2 . Эти равенства означают, что ОВ касается описанной окружности треугольника ADM

    №4. На основании АВ равнобедренного треугольника АВС взята точка Е, и в треугольники АСЕ и АВЕ вписаны окружности, касающиеся отрезка СЕ в точках М и N . Найдите длину отрезка MN, если известны длины АЕ и ВЕ.

    Согласно вводной задаче 4 СМ=(АС+СЕ-АЕ)/2 и СN=(BC+CE-BE)/2. Учитывая, что АС=ВС, получаем МN=|CM-CN|=|AE-BE|/2

    №5. Длины сторон треугольника АВС образуют арифметическую прогрессию, причем a о 15`. Вычислить дуги, заключенные между точками касания

    №7. Вычислить угол, составленный касательной и хордой, если хорда делит окружность на две части, относящиеся как 3:7.

    VI. Контрольные задачи.

    Точка М находится вне круга с центром О. Из точки М проведены три секущие: первая пересекает окружность в точках В и А (М-В-А), вторая – в точках D и C (М-D-C), а третья пересекает окружность в точках F и E (M-F-E) и проходит через центр окружности, АВ = 4, ВМ =5, FM = 3.

    Докажите, что если АВ = СD, то углы АМЕ и СМЕ равны.

    Найдите радиус окружности.

    Найдите длину касательной, проведенной из точки М к окружности.

    Найдите угол АЕВ.

    АВ – диаметр окружности с центром О. Хорда ЕF пересекает диаметр в точке К (А-К-О), ЕК =4, КF = 6, ОК = 5.

    Найдите радиус окружности.

    Найдите расстояние от центра окружности до хорды ВF.

    Найдите острый угол между диаметром АВ и хордой EF.

    Чему равна хорда FМ, если ЕМ – параллельная АВ.

    Вариант 3. В прямоугольный треугольник АВС ( ° , ° ) вписана окружность, которая касается сторон АВ, ВС, АС соответственно в точках D, E и F. На дуге DF выбрана точка К и проведена касательная к окружности в этой точке. Касательная пересекает АВ в точке Р, а АС- в точке Т.

    В каком отношении точки D, E и F делят окружность?

    Найдите радиус окружности, если её центр удален от вершины С на 4 .

    Найдите периметр треугольника АРТ.

    Найдите радиус окружности, описанной около треугольника АВС.

    АВ – диаметр окружности с центром О. Радиус этой окружности равен 4, О1 – середина ОА. С центром в точке О1 проведена окружность, касающаяся большей окружности в точке А. Хорда СD большей окружности перпендикулярна к АВ и пересекает АВ в точке К. Е и F –точки пересечения СD с меньшей окружностью (С-Е-К-F-D), АК=3.

    Найдите хорды АЕ и АС.

    Найдите градусную меру дуги АF и её длину.

    Найдите площадь части меньшего круга, отсеченной хордой ЕF.

    Найдите радиус окружности, описанной около треугольника АСЕ.

    Источник:

    gigabaza.ru

    Вписанные И Описанные Окружности. Справочные Материалы в городе Омск

    В данном каталоге вы сможете найти Вписанные И Описанные Окружности. Справочные Материалы по разумной цене, сравнить цены, а также найти другие книги в категории Наука и образование. Ознакомиться с свойствами, ценами и рецензиями товара. Доставка товара может производится в любой населённый пункт России, например: Омск, Волгоград, Санкт-Петербург.